Minimum Value Rectangle - Educational Codeforces Round 49 div2 c

#math

$\frac{P^2}{S} = \frac{ \{ 2(x + y) \}^2}{xy}$

$\frac{(x + y)^2}{xy}$
を考える

$\frac{x^2 + 2xy + y^2}{xy}$
= $\frac{x^2 + y^2}{xy} + 2$

$\frac{x^2 + y^2}{xy}$
を考える

$\frac{x^2 + y^2}{xy} = \frac{x}{y} + \frac{y}{x} \ \ \ \ (1)$
思いっきし相加相乗平均

$\frac{x}{y} + \frac{y}{x} \geq 2 \sqrt{\frac{x}{y} \frac{y}{x}}$
x = y のとき最小

そうでないとき, x と y ができるだけ近い方が良さそう

(1) 式における x, y の対称性より, x ≤ y としても一般性を失わない

$\frac{y}{x} = a \ (a \geq 1)$ とおく

(1) = a + $\frac{1}{a}$
これは, y = x と y = $\frac{1}{x}$ を合成した, 下図のようなグラフで, x ≥ 1 で単調増加

f:id:tac_12:20200126161820p:plain:w200

よって, x = 1 すなわち a = 1 で最小
また, y はできるだけ x に近い方が小さくなる