lis (longest increasing sequence), 最長増加部分列

真に増加していく部分列 (連続でなくてよい) で, 最長のものを求める

数列 5 3 4 1 2 を考える
(lis は 3, 4 とか 1, 2)

vector を用意する

最初に, 5 を入れる

次, 3 がきて, 3 より大きいのを vector で探すと, 5 がある
5 を 3 に変える
5 の後に 3 がくる lis は作れず, lis の最初の要素を 5 より 3 にしたほうがいいから

次, 4 がきて, 4 より大きいのを探すとない
vector は 3, 4

次, 1 がきて, 1 より大きいのは 3, 4
4 を変えても 3, 1 で lis にならない
3 を 1 にして, 1, 4

これだと, 1, 4 ていうのが lis で許されてしまうと思われるかもしれない
この場合, 3, 4 を採用する
(すなわち, lis の数列は答えられず, 長さだけ答えられる)

最後に 2 がくる
1 を変えても損するだけで, 4 を変える
vector は 1, 2

1, 2 が lis の 1 つ
3, 4 でもいい

アルゴリズム

1. 空の vector を用意する
2 を繰り返す

2.
に関して, vector で lower_bound する
(upper_bound にすると, 同じ数が並ぶのを許してしまう)

iterator が vector の end なら, を vector に追加する
そうでないなら, その値を に更新する

lis の数列を復元したいなら, vector < vector < int> > で数を持ったらできる
全体で数列の要素分見る
O(N logN)

lis 数列復元あり

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define F first
#define S second
#define pii pair<int, int>
#define eb emplace_back
#define all(v) v.begin(), v.end()
#define rep(i, n) for (int i = 0; i < (n); ++i)
#define rep3(i, l, n) for (int i = l; i < (n); ++i)
#define sz(v) (int)v.size()
const int inf = 1e9 + 7;
const ll INF = 1e18;
#define abs(x) (x >= 0 ? x : -(x))
#define lb(v, x) (int)(lower_bound(all(v), x) - v.begin())
#define ub(v, x) (int)(upper_bound(all(v), x) - v.begin())
template<typename T1, typename T2> inline bool chmin(T1 &a, T2 b) { if (a > b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<typename T1, typename T2> inline bool chmax(T1 &a, T2 b) { if (a < b) { a = b; return 1; } return 0; }
template<typename T> T gcd(T a, T b) { if (b == 0) return a; return gcd(b, a % b); }
template<typename T> T lcm(T a, T b) { return a / gcd(a, b) * b; }
template<typename T> T pow(T a, int b) { return b ? pow(a * a, b / 2) * (b % 2 ? a : 1) : 1; }
const int mod = 1000000007;
ll modpow(ll a, int b) { return b ? modpow(a * a % mod, b / 2) * (b % 2 ? a : 1) % mod : 1; }
template<class T> ostream& operator<<(ostream& os, const vector<T>& vec) { for (auto &vi: vec) os << vi << " "; return os; }
template<class T, class U> ostream& operator<<(ostream& os, const pair<T, U>& p) { os << p.F << " " << p.S; return os; }
template<class T> inline void add(T &a, int b) { a += b; if (a >= mod) a -= mod; }



void solve();

int main() {
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);

    int T;
    // cin >> T;
    T = 1;

    while (T--) {
        solve();
    }
}

random_device rnd;
mt19937 mt(rnd());
uniform_int_distribution<> rand100(1, 1000000000);
#define rm rand100(mt)

void solve() {
    int n;
    n = 100000;
    vector<int> a(n);
    rep(i, n) a[i] = rm;

    vector<vector<int> > v;
    vector<int> lis;

    rep(i, n) {
      int it = lb(lis, a[i]);
      if (it == sz(lis)) {
        lis.eb(a[i]);

        vector<int> tmp;
        tmp.eb(a[i]);
        v.eb(tmp);
      } else {
        lis[it] = a[i];

        v[it].eb(a[i]);
      }
    }
    // cout << lis << endl;

    lis.clear();
    // rep(i, sz(v)) cout << v[i] << endl;
    lis.eb(v[sz(v) - 1][sz(v[sz(v) - 1]) - 1]);
    for (int i = sz(v) - 2; i >= 0; --i) {
      for (int j = sz(v[i]) - 1; j >= 0; --j) { // 合計で N
        if (v[i][j] < lis.back()) {
          lis.eb(v[i][j]);
          break;
        }
      }
    }
    reverse(all(lis));
    // cout << lis << endl;
    // cout << sz(lis) << " " << sz(v) << endl;
}